Окрашенный со всех сторон кубик объемом 1 дм' разрезали на 125 равных кубиков. Все неокрашенные кубики выложили в один ряд друг за другом. Какой длины получилась дорожка? Решение объяснить.
Объем исходного кубика составляет 1 дм³, что соответствует кубу со стороной 1 дм (или 10 см). Когда этот кубик разрезают на 125 равных кубиков, каждый из этих кубиков будет иметь объем:
[ \frac{1 , \text{дм}^3}{125} = \frac{1000 , \text{см}^3}{125} = 8 , \text{см}^3. ]
Теперь найдем сторону одного из маленьких кубиков. Объем куба вычисляется по формуле ( V = a^3 ), где ( a ) — длина стороны куба. Таким образом, для маленького кубика:
[ a^3 = 8 , \text{см}^3 \implies a = \sqrt[3]{8} = 2 , \text{см}. ]
Теперь мы знаем, что каждый из маленьких кубиков имеет сторону 2 см. Поскольку кубик был окрашен со всех сторон, неокрашенные кубики будут находиться внутри большого куба.
Чтобы определить, сколько неокрашенных кубиков осталось, нужно понять, сколько кубиков находится на границе. Большой кубик имеет 1 дм³ и состоит из 125 маленьких кубиков, которые образуют куб 5x5x5 (так как ( 5^3 = 125 )).
Кубики на границе — это кубики, которые находятся на внешних слоях. Внутренний слой кубиков, который не окрашен, будет представлять собой куб 3x3x3 (так как мы убираем один слой с каждой стороны).
Теперь найдем количество неокрашенных кубиков:
[ 3^3 = 27. ]
Теперь мы можем вычислить длину дорожки, которую образуют неокрашенные кубики. Каждый неокрашенный кубик имеет сторону 2 см, и если их выложить в ряд, то общая длина будет равна:
[ 27 \times 2 , \text{см} = 54 , \text{см}. ]
Таким образом, длина дорожки, образованной неокрашенными кубиками, составляет 54 см.