点阵连通问题的最小花费计算方法

有一个M行N列的点阵，相邻两点可以相连。一条纵向的连线花费一个单位，一条横向的连线花 费两个单位。某些点之间已经有连线了，试问至少还需要花费多少个单位才能使所有的点全部连通。 Input 第一行输入两个正整数m和n。 以下若干行每行四个正整数21,y1，22,y2，表示第1行第y1列的点和第c2行第y2列的点已 经有连线。输入保证|c1-22|+|y1-y2|=1。 Output 输出使得连通所有点还需要的最小花费。

这个问题可以看作是一个加权图的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）问题。我们需要使用Kruskal算法或Prim算法来解决这个问题。以下是使用Kruskal算法的解决方案。

输入输出格式

• 输入：
  • 第一行包含两个正整数 ( m ) 和 ( n )。
  • 接下来的若干行，每行包含四个正整数 ( c1, y1, c2, y2 )，表示第 ( c1 ) 行第 ( y1 ) 列的点和第 ( c2 ) 行第 ( y2 ) 列的点已经有连线。
• 输出：
  • 输出使得连通所有点还需要的最小花费。

解决方案

1. 初始化并查集：用于管理连通性。
2. 构建边列表：包括所有可能的边（横向和纵向），并标记已经存在的边。
3. Kruskal算法：对边按权重排序，使用并查集逐步添加边，直到所有点连通。

代码实现

以下是Python代码实现：

class UnionFind:
    def __init__(self, size):
        self.parent = list(range(size))
        self.rank = [1] * size

    def find(self, p):
        if self.parent[p] != p:
            self.parent[p] = self.find(self.parent[p])
        return self.parent[p]

    def union(self, p, q):
        rootP = self.find(p)
        rootQ = self.find(q)
        if rootP != rootQ:
            if self.rank[rootP] > self.rank[rootQ]:
                self.parent[rootQ] = rootP
            elif self.rank[rootP] < self.rank[rootQ]:
                self.parent[rootP] = rootQ
            else:
                self.parent[rootQ] = rootP
                self.rank[rootP] += 1
            return True
        return False

def min_cost_to_connect_all_points(m, n, existing_edges):
    edges = []
    uf = UnionFind(m * n)
    
    # Add all possible edges
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i < m - 1:
                edges.append((1, i * n + j, (i + 1) * n + j))  # vertical edge
            if j < n - 1:
                edges.append((2, i * n + j, i * n + j + 1))  # horizontal edge
    
    # Mark existing edges
    for c1, y1, c2, y2 in existing_edges:
        if c1 == c2:
            uf.union((c1 - 1) * n + (y1 - 1), (c2 - 1) * n + (y2 - 1))
        else:
            uf.union((c1 - 1) * n + (y1 - 1), (c2 - 1) * n + (y2 - 1))
    
    # Sort edges by cost
    edges.sort()
    
    # Kruskal's algorithm to find MST
    total_cost = 0
    for cost, u, v in edges:
        if uf.union(u, v):
            total_cost += cost
    
    return total_cost

# Read input
import sys
input = sys.stdin.read
data = input().split()
m = int(data[0])
n = int(data[1])
existing_edges = []
index = 2
while index < len(data):
    c1 = int(data[index])
    y1 = int(data[index + 1])
    c2 = int(data[index + 2])
    y2 = int(data[index + 3])
    existing_edges.append((c1, y1, c2, y2))
    index += 4

# Calculate the minimum cost
result = min_cost_to_connect_all_points(m, n, existing_edges)
print(result)

解释

1. Union-Find：用于管理连通性，支持路径压缩和按秩合并。
2. 构建边列表：包括所有可能的边（横向和纵向），并标记已经存在的边。
3. Kruskal算法：对边按权重排序，使用并查集逐步添加边，直到所有点连通。

这个解决方案能够有效地计算出使所有点连通所需的最