Asymptotic Normality of Nadaraya-Watson Estimator

Assume the univariate random design model and some regularity conditions, discussing the asymptotic normality of the Nadaraya-Watson estimator ˆmh(x)

说中文 这个渐进分布具体形式是什么样的

在单变量随机设计模型中，Nadaraya-Watson估计量用于估计条件期望函数。假设一些正则性条件（如平滑性条件和带宽选择条件）满足，Nadaraya-Watson估计量在渐进意义下是正态分布的。

具体来说，Nadaraya-Watson估计量 (\hat{m}_h(x)) 的渐进分布形式可以表示为：

[ \sqrt{n h} \left( \hat{m}_h(x) - m(x) \right) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{\sigma^2(x)}{f(x) \int K^2(u) , du}\right) ]

其中：

• (n) 是样本量。
• (h) 是带宽参数。
• (m(x)) 是真实的条件期望函数。
• (\sigma^2(x)) 是误差项的条件方差。
• (f(x)) 是自变量的边际密度函数。
• (K(u)) 是核函数。

这个结果表明，经过适当的标准化后，Nadaraya-Watson估计量的误差项在渐进意义下服从均值为0的正态分布，其方差与核函数、带宽、样本量等因素有关。