Asymptotic Normality of Nadaraya-Watson Estimator in Regression

Assume the univariate random design model and some regularity conditions, discussing the asymptotic normality of the Nadaraya-Watson estimator ˆmh(x)

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在单变量随机设计模型和一些正则条件下，我们可以讨论Nadaraya-Watson估计量(\hat{m}_h(x))的渐近正态性。

Nadaraya-Watson估计量是一种用于非参数回归的核平滑方法。其基本思想是通过加权平均来估计回归函数的值，其中权重由核函数和带宽参数决定。

在讨论其渐近正态性时，我们通常需要假设一些正则条件，例如：

1. 核函数(K)是一个连续的对称函数，并且满足某些积分条件。
2. 带宽参数(h)随着样本量(n)的增加而趋于零，但不能太快趋于零。通常要求(h \to 0)且(nh \to \infty)。
3. 回归函数(m(x))在点(x)处具有某种光滑性，例如连续可微。

在这些条件下，可以证明Nadaraya-Watson估计量(\hat{m}_h(x))在渐近上服从正态分布。具体来说，当样本量(n)趋于无穷大时，估计量的分布可以近似为一个正态分布，其均值为真实的回归函数值(m(x))，方差则与核函数、带宽以及数据的分布有关。

这种渐近正态性为我们提供了一个理论基础，使得我们可以在大样本情况下对估计量进行推断，例如构建置信区间或进行假设检