Assume the univariate random design model and some regularity conditions, discussing the asymptotic normality of the Nadaraya-Watson estimator ˆmh(x)用中文回答我
在单变量随机设计模型下，Nadaraya-Watson估计器是一种常用的非参数回归方法。为了讨论Nadaraya-Watson估计器(\hat{m}_h(x))的渐近正态性，我们需要考虑一些基本的假设和正则性条件。
首先，Nadaraya-Watson估计器的定义为：
[ \hat{m}h(x) = \frac{\sum{i=1}^{n} K_h(x - X_i) Y_i}{\sum_{i=1}^{n} K_h(x - X_i)} ]
其中，(K_h)是核函数，(h)是带宽参数，(X_i)是自变量，(Y_i)是因变量。
核函数的选择：核函数(K)通常需要满足一些条件，例如是对称的、非负的，并且在某个区间内积分为1。此外，核函数的光滑性也会影响估计器的性质。
带宽的选择：带宽(h)的选择对估计器的表现至关重要。通常要求(h)随着样本量(n)的增大而趋近于0，但要保证(nh)趋近于无穷大，以确保估计的稳定性。
样本独立同分布：假设样本((X_i, Y_i))是独立同分布的，这样可以确保估计器的无偏性和一致性。
光滑性条件：假设真实的回归函数(m(x))在某个邻域内是光滑的，这样可以保证估计器在该点附近的收敛性。
在满足上述条件的情况下，可以证明Nadaraya-Watson估计器(\hat{m}_h(x))在样本量趋近于无穷大时，具有渐近正态性。具体来说，存在常数(C)和一个适当的标准差(\sigma_h(x))，使得：
[ \sqrt{n}(\hat{m}_h(x) - m(x)) \xrightarrow{d} N(0, \sigma_h^2(x)) ]
这里，(\xrightarrow{d})表示分布收敛，(N(0, \sigma_h^2(x)))表示均值为0、方差为(\sigma_h^2(x))的正态分布。
综上所述，在适当的正则性条件下，Nadaraya-Watson估计器在样本量趋近于无穷大时，能够收敛到一个正态分布。这一结果为非参数回归分析提供了理论基础，使得我们可以在实际应用中对估计结果进行推断和置信区间的构建。