Var( f ^
h (x))= nh d
1 f(x)∫K 2 (u 1 )du 1 +O( nh d−2
1 + n 1 )如何推导
要推导方差 ( \text{Var}(\hat{f}_h(x)) ) 的表达式，我们需要理解一些基本的概念和步骤。这里的 ( \hat{f}_h(x) ) 通常是指核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）中的估计值。我们将逐步推导这个方差的表达式。
核密度估计的形式为：
[ \hat{f}h(x) = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} K_h(x - X_i) ]
其中 ( K_h(u) = \frac{1}{h} K\left(\frac{u}{h}\right) ) 是缩放后的核函数，( K ) 是一个对称的核函数，( h ) 是带宽参数，( X_i ) 是样本点。
计算期望： [ \mathbb{E}[\hat{f}h(x)] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} K_h(x - X_i)\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}[K_h(x - X_i)] ] 在大样本情况下，假设 ( X_i ) 是独立同分布的，且 ( K_h(x - X_i) ) 的期望可以通过积分得到。
计算方差： [ \text{Var}(\hat{f}h(x)) = \text{Var}\left(\frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} K_h(x - X_i)\right) ] 由于 ( K_h(x - X_i) ) 是独立同分布的，我们可以使用方差的性质： [ \text{Var}(\hat{f}h(x)) = \frac{1}{n^2} \sum{i=1}^{n} \text{Var}(K_h(x - X_i)) = \frac{1}{n} \text{Var}(K_h(x - X_1)) ]
计算 ( \text{Var}(K_h(x - X_1)) )： 通过计算 ( K_h(x - X_1) ) 的方差，我们可以得到： [ \text{Var}(K_h(x - X_1)) = \mathbb{E}[K_h(x - X_1)^2] - \left(\mathbb{E}[K_h(x - X_1)]\right)^2 ] 这里的 ( \mathbb{E}[K_h(x - X_1)^2] ) 可以通过积分得到。
最终结果： 结合上述步骤，我们可以得到方差的最终形式： [ \text{Var}(\hat{f}_h(x)) = \frac{1}{n} \int K^2(u) du + O\left(\frac{1}{n} + nh^{d-2}\right) ] 其中 ( O\left(\frac{1}{n} + nh^{d-2}\right) ) 是高阶项，表示在带宽 ( h ) 较小或样本量 ( n ) 较大时的影响。
通过以上步骤，我们推导出了核密度估计的方差表达式。这个过程涉及到期望和方差的计算，以及对核函数的性质的利用。希望这个推导过程对你理解方差的来源